El problema de la semana pasada relativo al número de personas con la misma cantidad de pelos en la cabeza es un claro ejemplo de aplicación del principio del palomar (del que ya hablamos hace unos años en relación con un asunto de calcetines y cajones). También conocido como principio de las casillas o principio de Dirichlet (en honor del gran matemático alemán Peter Gustav Dirichlet, que, entre otras aportaciones, introdujo el concepto moderno de función), cuya formulación más simple —y de ahí su nombre— es que si en un palomar hay 100 casillas, solo un máximo de 100 palomas podrán acomodarse en él de forma que solo haya una paloma en cada casilla. Si las palomas son más de 100, en alguna casilla habrá necesariamente más de una paloma.
Si el máximo de cabellos posibles es 100.000, solo puede haber 100.000 personas con distintas dotaciones capilares (prescindiremos de los calvos integrales —y de las calvas, que también las hay— para simplificar). Si todas las dotaciones capilares fueran estrictamente equiprobables (obviamente no es así), en una población de 3,5 millones de habitantes habría 35 con 100.000 cabellos, 35 con 99.999, 35 con 99.998…, 35 con 2 cabellos (como Homer Simpson) y 35 con un solo cabello. Puesto que tal distribución de máxima uniformidad es claramente inverosímil, podemos tener la certeza estadística de que en una ciudad como Madrid habrá numerosos grupos de cientos de personas que en un momento dado tengan exactamente el mismo número de cabellos.
¿Y cuántas personas puede haber en Madrid, como máximo, con el mismo número de cabellos? En teoría, 3,5 millones. En la práctica, solo podríamos llevar a cabo una aproximación estadística verosímil a partir de la información disponible (si la hubiere) sobre la distribución cuantitativa de las distintas dotaciones capilares.
En cuanto al mínimo número de años bisiestos en una década, como señala Ángel Barrientos: “Si se puede empezar a contar la década cualquier año, por ejemplo en 1897, el mínimo es 1, ya que solo el año 1904 sería bisiesto”. Así es, puesto que 1900 no fue bisiesto, pese a ser divisible por 4.
En puridad, una década es cada uno de los diez decenios de un siglo; pero en una segunda acepción “década” es sinónimo de “decenio”, por lo que la estimación anterior es válida.
Obsérvese, dicho sea de paso, la ambigüedad a la que da lugar la generalizada costumbre de nombrar las décadas por referencia a la cifra redonda, como cuando decimos “la década de los ochenta” o “los locos años veinte”. ¿Forma parte el año 1980 de la década a la que da nombre? ¿Estaba loco el año 1920 o se salvó por los pelos?
Y por lo que respecta al supuesto viento ubicuo, precursor del Diluvio Universal, ni siquiera un Dios omnipotente podría haberlo desencadenado: es un absurdo topológico, como demuestra el teorema del punto fijo. Pero ese es otro artículo.
El palomar y más allá
El principio del palomar puede parecer una mera obviedad, pero permite abordar eficazmente un gran número de problemas (a menudo combinándolo con la teoría de grafos), algunos sencillos y otros no tanto; por ejemplo:
¿Cuántas veces hay que lanzar un dado para tener la certeza de obtener un mismo número al menos tres veces?
Escoge 12 números de dos cifras cualesquiera. Si los restas entre sí, comprobarás que hay al menos un par cuya diferencia es un número con ambas cifras iguales. ¿Por qué?
Demuestra que en un grupo de 6 personas siempre hay 3 que se conocen entre sí o 3 que no se conocen entre sí.
